突變理論及其應用

突變理論及其應用，突變理論（Catastrophe Theory）是新近誕生的一門邊緣學科，也是一門迅速發展而有重大理論與實際意義的學科，現在分享突變理論及其應用。

突變理論及其應用1

研究的現象

某個因素的連續變化（往往還是光滑，理解為無限次可微）的變化可能導致系統性臺的突然變化。

突變現象的研究工具

分叉理論——處理引數變化時某些定性性態的改變；

突變理論——系統處理併成功地解決大量實際問題。

突變理論的數學基礎

常微分方程的解有三個要素（Poincare，19世紀）：結構穩定性、動態穩定性和臨界性。

“粗”系統（Ahupohob和Nohtprtnh,1937）的提出確定了結構穩定性的概念。

Morse引理（1930）對突變理論的數學基礎是一個重要貢獻。

論文“曲面到平面的對映”（Whitney，1955）中指出：空間曲面到平面的投影只可能有兩種奇異性，即摺疊和尖點。這是突變理論分類表中最低階的兩種突變（Thom突變理論創始人）。

50年代——引入橫截性概念研究結構穩定性，並證明梯度系統的結構穩定系統是稠的。（Thom）

60年代——對梯度系統即一類特殊的對映的奇點進行分類，並稱之為“初等突變”，導致突變理論的建立。（Thom）

70年代——突變理論的奠基性著作出版（Thom，1972）。但沒有對分類定理進行嚴格的數學證明。

以後——證明分類定理（Mather，Malgrange）；應用和普及（Zeeman）。

突變理論不是一個獨立的數學分支。

分叉理論與突變理論

分叉理論的最一般形式：關於非線性方程平衡解的理論。平衡解：常解（即平衡點）、時間週期解和概週期解。分叉理論的研究物件：非線性微分方程支配的演化問題的平衡解的分叉；及第四種平衡解或定常運動形式——混沌。目前已經研究比較透徹的關係（如圖1）。

圖1四種定常運動形式之間的轉化

突變理論研究多個引數變化時平衡點附近分叉情況的全面影象，特別是其中可能出現的突然變化；屬於靜態分叉，即平衡點之間相互轉化問題。突變理論在某種意義上包含了靜態分叉，而廣義的分叉理論又在某種意義上包含了突變理論。

突變理論的研究物件

一般的，可以用定義在中的K個微分—積分方程來描述一個時間演化的系統，其中帶有引數（見表1）。

第一次簡化，不考慮積分項，將得到一個非線性偏微分方程組。

第二次簡化，不考慮對位置的導數，即不考慮位置的`影響，得到一個非線性常微分方程組。

上述這些情況都難以給出一般性的結論。

第四次簡化，得到一個動力學系統。已有較多研究。

第五次簡化，得到一個自治動力學系統。當引數很少時（）,已經可以得到一些有用的結果。

第六次簡化，導致一個梯度系統，已有相當多的結果。

第七次簡化，考慮的是梯度系統的平衡點，即突變理論的研究物件：研究由解出的諸平衡點如何隨控制引數的改變而改變。這種理論被稱為初等突變理論。

對非梯度系統中平衡點和其他現象進行的研究有不少發展，如廣義分叉理論、奇異性理論、動力學系統理論和混沌理論。

突變理論及其應用2

20世紀60年代末70年代初，突變理論“熱”轟動一時。菲爾茲獎獲得者、法國數學家勒內託姆從1968年開始陸續發表文章，論述“突變理論”。1972年，託姆出版《構造穩定性和形態發生學》一書，一時風靡全球。

託姆是一位卓有成就的拓撲學家。20世紀60年代以來，他致力於高維空間曲面的研究，用微分拓撲的方法分析曲面的奇點，並進行分類。

他考察由不超過4個自變數的函式（一個或兩個）決定的曲面，用區域性微分同胚的方法考察奇點周圍的性質，共得出7種基本型別。每一種型別表示一種不連續現象，當變數進入分支區域時，函式可以取n個值，相當於n葉摺疊的曲面，這表明在分支區域內，函式值處於不穩定狀態，即可從一個值跳到另一個值。這正是不連續現象的特徵。

託姆在《構造穩定性和形態發生學》這本書中，用微分拓撲中的結論去解釋胚胎生長的突變、物理光學中的突變以及語言學上的突變等等。許多學科都涉及突然變化現象，這本書為這些突變現象提供了理論支撐，如胚胎學、人性學、醫學、生態學、地質學、光學、激波、船舶穩定，甚至囚犯騷動、戰爭爆發、市場崩潰等等，都可以用突變理論來解釋。

值得一提的是英國沃裡克大學著名的數學教授齊曼在“突變熱”中起了很大的推動作用。當他接觸了託姆的突變理論後，便被吸引住了。他認為，微積分是一種數學模型，它能解釋像地球繞太陽旋轉那樣連續變化的自然現象，並加以計算和預測。然而對於充滿突變和跳躍的自然現象來說，這是太不夠用了。

水突然沸騰，火山爆發，房屋倒塌，蝗蟲急速繁殖，病人忽然休克，由量變發展為質變，乃是司空見慣的現象，但迄今為止，還沒有一種數學理論能夠從數量上給出一個模型。現在託姆居然做到了。齊曼十分興奮，他組成一個研究團體，細心鑽研，擴充套件應用。

齊曼教授稱突變理論是微積分以後最重要的發現。

現在，突變理論在許多領域得到了越來越廣泛的應用。

突變理論在在自然科學的應用是相當廣泛的。在物理學研究了相變、分叉、混沌與突變的關係，提出了動態系統、非線性力學系統的突變模型，解釋了物理過程的可重複性是結構穩定性的表現。

在化學中，用蝴蝶突變描述氫氧化物的水溶液，用尖頂突變描述水的液、氣、固的變化等。在生態學中研究了物群的消長與生滅過程，提出了根治蝗蟲的模型與方法。在工程技術中，研究了彈性結構的穩定性，通過橋樑過載導致毀壞的'實際過程，提出最優結構設計……。

突變理論在社會現象的一個用歸納為某種量的突變問題，人們施加控制因素影響社會狀態是有一定條件的，只有在控制因素達到臨界點之前，狀態才是可以控制的。

一旦發生根本性的質變，它就表現為控制因素所無法控制的突變過程。還可以用突變理論對社會進行高層次的有效控制，為此就需要研究事物狀態與控制因素之間的相互關係，以及穩定區域、非穩定區域、臨界曲線的分佈特點，還要研究突變的方向與幅度。